Он родился в 1890 году в бедной крестьянской семье Красноярского уезда. Через девять лет отец переезжает в Красноярск, и Гавриил начинает учебу во второй всехсвятско-церковноприходской школе. После ее успешного окончания Баженов поступает в городское училище. Девятнадцатилетним пареньком он приходит на работу в Красноярские железнодорожные мастерские простым рабочим. В эти годы юноша много читает, усиленно занимается самообразованием. В партию большевиков Баженов приходит в 1917 году. С 1920 года переходит на низовую профсоюзную работу. Работа профуполномоченного помогает ему глубже узнать рабочую среду, ее главные боли и проблемы. Товарищи по партии оказывают ему доверие. В 1921 году он становится членом Николаевского райкома партии, а через год уже членом губкома.
3 января 1924 года состоялся пленум городского Совета. Вопрос о председателе на нем стоял первым. Выступающий Овсянников сказал, что "губком не имеет права вмешиваться в компетенцию горсовета, горсовет сам сможет разобраться, кого выдвинуть на пост председателя. По-моему, он должен быть из среды рабочих. В данном случае имеется две кандидатуры - Сидельников и Баженов. Посему предлагаю с рекомендацией губкома не соглашаться, а принять одного из двух предложенных мною".
За ним выступил Баженов, который заметил, что "раз уж проводить принцип демократии, так его и нужно проводить до конца. По-видимому, рекомендация губкома не пройдет. Надо сказать, что совместительство Шиханова несколько в этом случае не подходит. Со своей стороны предлагаю в председатели Сидельникова". Выступавшие вслед за Баженовым кандидатуру Шиханова не поддержали.
Сессия городского Совета рабочих и красноармейских депутатов VI созыва состоялась 12 января 1924 года. На ней присутствовало 78 вновь избранных депутатов. Им-то и предстояло окончательно решить вопрос о председателе Крассовета. Итоги открытого голосования были следующими: за Баженова проголосовало 46 человек, за Госкина - 4, за Сидельникова - 13, за Шиханова - 1. Таким образом, председателем горсовета стал Гавриил Яковлевич Баженов. Кандидатура Шиханова с треском провалилась.
Многие уверяли, что Баженов долгое время в этом кресле не усидит. 13 февраля новый председатель дал первое и последнее интервью газете "Красноярский рабочий". В нем он делился планами на будущее.
Во-первых, он хотел добиться улучшения жилищных условий для рабочих. Как говорил Баженов, "до сего времени на это мало обращалось внимания, коммунхоз был более заинтересован во взыскании квартирной платы, а поэтому удовлетворял квартирами в первую очередь "зажиточную публику". Теперь же мы стараемся поселить в хорошую квартиру рабочих и за минимальную оплату". (В январе 1924 года в Красноярске было муниципализировано 306 домов, все церкви, монастыри города и его окрестностей, в том числе н знаменитый Кафедральный собор. Были отобраны большие частные владения у золотопромышленников Саввиных и Пиккок. - Л.Б.).
Волновали Баженова и безработные. Горсовет оказывал им реальную помощь, предоставляя для вновь создающихся артелей помещения. Председатель сумел обеспечить углем на целый год и городскую электростанцию. Но нерешенных проблем оказывалось гораздо больше. Требовалось быстрее наладить водоснабжение, улучшить благоустройство, замостить полностью хотя бы одну улицу - Советскую. Но, как всегда, на эти цели в городском бюджете хронически не хватало средств.
Баженов принимал активное участие в увековечении памяти героя гражданской войны Александра Диомидовича Кравченко. Так, по решению горсовета одна из улиц города стала носить имя этого партизанского героя. Имя Кравченко было также присвоено одному из детдомов Красноярска.
В феврале 1924 года в России произошла денежная реформа. Она, как образно писали экономисты тех лет, должна была убить сразу двух врагов - государственный дефицит (превышение расходов над доходами) и высокие товарные цены. 22 марта газета "Красноярский рабочий" опубликовала образцы новых денег.
Вскоре Баженов был уволен с повышением. Он стал возглавлять Енисейский губпрофсовет. В его личном деле появилась такая запись: "На эту работу был назначен в порядке выдвижения, будучи снят с работы председателя Красноярского горсовета".
Шиханов и его приближенные не могли простить Баженову его строптивого характера. В справке-объективке Гавриилу Яковлевичу начальство давало такую характеристику: "Подбирать работников может, но проявить полное руководство ими ввиду отсутствия практического стажа на руководящей губернской работе не всегда мог. Может работать в подгруппе "а" губернского масштаба".
Дальнейшая судьба Баженова нам пока неизвестна.